monte_carlo_post

Метод Монте-Карло: от числа π до интегралов

Один из самых элегантных методов в вычислительной математике: хочешь посчитать что-то сложное — кидай случайные точки и считай пропорции.

▪️ Оценка π. Вписываем круг в квадрат. Кидаем случайные точки. Отношение площадей: S_круга / S_квадрата = π/4. Считаем, сколько точек попало внутрь круга, умножаем на 4 — получаем π. С 8000 точек уже видно ~3.14. С миллионом — 3 знака после запятой.

▪️ Численное интегрирование. Тот же принцип, но мощнее. Чтобы вычислить ∫f(x)dx, генерируем случайные точки в прямоугольнике, ограничивающем область под кривой. Доля точек под графиком × площадь прямоугольника = оценка интеграла.

Ключевое свойство: скорость сходимости ~1/√n. Чтобы получить ещё один знак точности, нужно в 100 раз больше точек. На видео это видно по жёлтой полосе ±4/√n — оценка колеблется внутри неё.

Почему это важно для ML? Потому что Монте-Карло — основа:
— Стохастического градиентного спуска (SGD)
— Вариационного вывода (VAE, ELBO)
— MCMC-сэмплинга в байесовских моделях
— Оценки policy gradient в RL

Каждый раз, когда вы берёте мини-батч вместо полного датасета — вы делаете Монте-Карло оценку градиента. Один из тех методов, где «тупой рандом» оказывается удивительно эффективным.

На видео: 14000 точек, два примера — от геометрии к анализу.

#montecarlo #mathematics #stochastic